Российский журнал наук о Земле
Том 1, № 4, Июнь 1999

Аппроксимационный подход к решению задач гравиметрии и магнитометрии.
I. Основная вычислительная проблема - регуляризация систем линейных алгебраических уравнений

В. Н. Страхов, А. В. Страхов

Объединенный институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН

  Это может показаться парадоксальным,
но вся наука подчинена идее аппроксимации.

Бертран Рассел
  Умный начинает с конца,
дурак кончает в начале.

Дьердь Пойа


Содержание


Введение

Данная работа, состоящая из четырех частей, посвящена центральной, по глубокому убеждению авторов, для гравиметрии и магнитометрии проблеме - разработке современной теории интерпретации потенциальных полей, адекватной реальной вычислительной практике, на базе фундаментальных методообразующих идей аналитической аппроксимации, алгебраизации и распознавания образов. Короче говоря, речь идет об изложении тех фундаментальных основ теории интерпретации, которые должны составить третью парадигму в этой теории, о чем неоднократно писал первый из авторов настоящей статьи, [см. Страхов, 1995a, 1995b, 1995c, 1996a, 1996b, 1996c, 1997a, 1997b, 1997c, 1998a, 1998b, 1998c, 1998d, 1998e].

Говоря о единой аппроксимационной основе всех методов, развиваемых в рамках третьей парадигмы, естественно поставить следующие вопросы:

1) каким образом решение задач редуцируется к решению задач аппроксимации?

2) какие типы аппроксимаций имеют для гравиметрии и магнитометрии определяющее значение?

3) какова та вычислительная задача, которая имеет при решении задач построения аппроксимаций центральное значение?

4) каковы методы решения той вычислительной задачи, которая играет центральную роль при построении аппроксимаций?

Памятуя изречение знаменитого венгерского математика Д. Пойа, вынесенное в эпиграф, в первых двух частях работы, настоящей и следующей, рассматривается последний из четырех приведенных вопросов, исходя из следующих ответов на второй и третий вопросы:

2) важнейший класс аппроксимаций, используемый при решении задач гравиметрии и магнитометрии - это линейные аппроксимации глобального характера;

3) центральная вычислительная проблема, возникающая при построении линейных аппроксимаций глобального характера - это проблема нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными (или по другому - проблема регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными).

При этом очевидными являются следующие факты:

а) смысл термина "глобальная линейная аппроксимация" таков - речь идет о линейной аппроксимации, позволяющей описывать внешнее аномальное поле во всем априорно заданном объеме пространства и находимой по всей экспериментальной информации о поле в заданном объеме пространства;

б) в общем случае системы линейных алгебраических уравнений, устойчивые приближенные решения которых надо отыскивать, имеют приближенно заданные правые части и матрицы;

в) в настоящее время в повестке дня стоит проблема нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с плотно заполненными матрицами, большой и даже сверхбольшой размерности, в которых число подлежащих определению неизвестных имеет порядок 10 4 (большая размерность) и 10 5 (сверхбольшая размерность); это с очевидностью обусловлено тем, что в настоящее время все задачи требуется решать в трехмерной (пространственной) постановке;

г) особо актуальной является проблема редуцирования задач гравиметрии и магнитометрии к решению систем линейных алгебраических уравнений с очень сильно разреженными матрицами, число неизвестных в которых можно брать весьма большим (порядка 10 6 -10 7 ); эта проблема естественно приводит к использованию методов решения задач гравиметрии и магнитометрии, основанных на теориях дискретных физических полей (гравитационного, магнитного);

д) при постановке задач нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными с очевидностью должна использоваться априорная информация об искомом решении и помехах (в задании правой части и матрицы); априорная информация должна быть адекватна реальной геофизической практике.

Как уже сказано выше, детальное рассмотрение первого, а также второго и третьего вопросов будет сделана в третьей части работы. В четвертой части будет приведено описание разработанных компьютерных технологий и примеры их использования.

Что касается настоящей - первой - части работы, то в ней рассматриваются классические постановки задач нахождения устойчивых приближенных решений линейных систем, дается классификация и краткое описание разработанных методов, при этом более подробно рассматриваются: 1) основной вариационный метод А. Н. Тихонова и 2) связанный с ним метод расширенных систем 2-го рода. Далее в первой части работы рассматриваются основы разработанной В. Н. Страховым, частично с соавторами, (см. [Страхов, 1990a, 1990b, 1991a, 1991b, 1991c, 1992a, 1992b, 1995b, 1997d, 1997e, 1997f, 1997g, 1997h, 1998d; Страхов, Страхов, 1998, 1999a, 1999b, 1999c, 1999d; Страхов, Тетерин, 1991a, 1991b, 1991c, 1993; Strakhov et al., 1995]) новой теории регуляризации систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными (третий раздел статьи), и дается классификация созданных в рамках этой теории методов регуляризации, в случае чисто аддитивной помехи в правой части - четвертый раздел первой части.

Во второй части работы приводится более подробное описание методов регуляризации линейных систем, разработанных в рамках новой теории.


 Загрузка файлов для печати и локального просмотра.


 
This document was generated by TeXWeb (Win32, v.1.0) on July 4, 1999.